第209章 分层筛法

  这是一个古老的问题，但他想换一个全新的角度去看它。

  如果从傅立叶分析的视角，g(n)可以看作是两个素数集合的卷积。

  也就是说，如果把素数集合表示成一个特徵函数，每个整数如果是素数就取1，不是就取0，那么g(n)就是这个特徵函数与它自身的卷积。

  卷积在傅立叶域里会变成乘法。

  也就是说，g(n)的傅立叶变换，等於素数特徵函数的傅立叶变换的平方。

  所以，如果能搞清楚素数特徵函数的傅立叶变换，就能搞清楚g(n)的分布。

  这是一个经典的圆法思路。

  哈代和李特尔伍德在上个世纪初就用这个方法得到了一个渐近公式：

  g(n) ≈ 某个常数 x n/(log n)^2 x 一个与n的奇因子有关的修正因子。

  但这个公式只是渐近的，不是严格的。

  问题出在哪里呢？

  “圆法给出的是主项的估计，但余项的控制一直无法做到足够小，根本原因在於，素数集合的傅立叶变换有太多的振盪，难以精確估计。”

  但如果换一个视角呢？

  不是从傅立叶域，而是从谱域出发呢？

  这是他最近在研究ns方程时想到的东西。